Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Bước 1

Viết $\frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{3 x^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Sau đó $d u = \sqrt{3} d x$ , nên $\frac{1}{\sqrt{3}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = \sqrt{3 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$

Bước 5.1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{2}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Sắp xếp lại $3$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3}]$

Bước 5.1.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3}]$

Bước 5.1.3

Vì $\sqrt{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x \sqrt{3}$ đối với $x$ là $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1$

Bước 5.1.5

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$\sqrt{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} \int u \frac{1}{\sqrt{3}} d u$

Bước 6

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{3}} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{\sqrt{3}}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} \int u d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3} \cdot 2} \int u d u$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} \int u d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $\frac{1}{2 \sqrt{3}} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{6}$ với $\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{6 \cdot 2} + C$

Bước 10.2.4

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sqrt{3 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2}}{12} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{3 x^{2}}}{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{\sqrt{3}}{12} {\sqrt{3 x^{2}}}^{2} + C$