Giải tích Ví dụ

$e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Bước 1

Viết $e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{x} (- x^{3} + 3 x) d x + \int - 3 d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = - x^{3} + 3 x$ và $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (- 3 x^{2} + 3) d x + \int - 3 d x$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = - 3 x^{2} + 3$ và $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - \int e^{x} (- 6 x) d x) + \int - 3 d x$

Bước 7

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} - (- 6 \int e^{x} (x) d x)) + \int - 3 d x$

Bước 8

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 \int e^{x} (x) d x) + \int - 3 d x$

Bước 9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - \int e^{x} d x)) + \int - 3 d x$

Bước 10

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) + \int - 3 d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(- x^{3} + 3 x) e^{x} - ((- 3 x^{2} + 3) e^{x} + 6 (x e^{x} - (e^{x} + C))) - 3 x + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$- x^{3} e^{x} + 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 6 x e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Bước 12.2

Trừ $6 x e^{x}$ khỏi $3 x e^{x}$ .

$- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (- x^{3} + 3 x) - 3$ .

$F (x) =$ $- x^{3} e^{x} - 3 x e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 e^{x} - 3 x + C$