Giải tích Ví dụ

$14 \sin^{4} (x)$

Bước 1

Viết $14 \sin^{4} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 14 \sin^{4} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 14 \sin^{4} (x) d x$

Bước 4

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $14$ ra khỏi tích phân.

$14 \int \sin^{4} (x) d x$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$14 \int {\sin (x)}^{2 (2)} d x$

Bước 5.2

Viết lại ${\sin (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$14 \int {(\sin^{2} (x))}^{2} d x$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$14 \int {(\frac{1 - \cos (2 x)}{2})}^{2} d x$

Bước 7

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$14 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$14 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Bước 9

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $14$ .

$\frac{14}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $14$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1} \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7 \int {(\frac{1 - \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ ở dạng một tích.

$7 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Bước 9.3

Khai triển ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.7

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $1$ .

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.8

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $1$ .

$7 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.9

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.10

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.11

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.12

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.13

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.14

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.15

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.16

Di chuyển $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.17

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.18

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.19

Sắp xếp lại $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

Bước 9.3.20

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

Bước 9.3.21

Di chuyển $\cos (u_{1})$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.22

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$7 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.23

Nhân $1$ với $1$ .

$7 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.24

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$7 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.25

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.26

Nhân $2$ với $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.27

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.28

Kết hợp $- \frac{1}{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.29

Nhân $2$ với $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.30

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.31

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.32

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.33

Kết hợp $- \frac{\cos (u_{1})}{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.34

Nhân $2$ với $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.35

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.36

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.37

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.38

Nhân $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.39

Nhân $2$ với $2$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3.40

Kết hợp $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ và $\cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.41

Nâng $\cos (u_{1})$ lên lũy thừa $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.42

Nâng $\cos (u_{1})$ lên lũy thừa $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.43

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.44

Cộng $1$ và $1$ .

$7 \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.45

Trừ $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ khỏi $- \frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.46

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.47

Sắp xếp lại $\frac{- 2 \cos (u_{1})}{4}$ và $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.3.48

Sắp xếp lại $\frac{1}{4}$ và $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cos (u_{1})$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Bước 9.4.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 (2)} d u_{1}$

Bước 9.4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{1}))}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Bước 9.4.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 9.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$7 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 11

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 12

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$7 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$7 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 14.2

Nhân $2$ với $4$ .

$7 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 15

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$7 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 17

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 17.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 17.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 18

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 19

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 20

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 21

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 22

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u_{1}$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int - \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 23

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Bước 24

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}))$

Bước 25

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$7 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Bước 26

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.1

Rút gọn.

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.1

Để viết $\frac{u_{1}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 26.2.2.1

Nhân $\frac{u_{1}}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$7 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$7 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 26.2.5

Cộng $u_{1}$ và $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Bước 27

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 27.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 27.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$7 (\frac{3 (2 x)}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 28

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1

Rút gọn biểu thức $\frac{3 (2 x)}{8}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 28.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $3 (2 x)$ .

$7 (\frac{2 (3 (x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 28.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 28.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 28.1.4

Viết lại biểu thức.

$7 (\frac{3 (x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 x))}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 28.2

Nhân $2$ với $2$ .

$7 (\frac{3 x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16} - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 29

Sắp xếp lại các số hạng.

$7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 30

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 14 \sin^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{3}{4} x + \frac{1}{16} \sin (4 x) - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$