Giải tích Ví dụ

$2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \sec^{2} (2 x) d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7

Kết hợp $\sec^{2} (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 9.3

Nhân $\int \sec^{2} (u) d u$ với $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 10

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\tan (u) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 12

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 12.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (u) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 12.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\tan (u) + C - \int x^{- 2} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\tan (u) + C - (- x^{- 1} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

$\tan (u) - - \frac{1}{x} + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\tan (u) + 1 \frac{1}{x} + C$

Bước 14.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\tan (u) + \frac{1}{x} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sec^{2} (2 x) - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\tan (2 x) + \frac{1}{x} + C$