Giải tích Ví dụ

$- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Bước 1

Viết $- \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 6

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $48$ ra khỏi tích phân.

$- (48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Bước 7

Nhân $48$ với $- 1$ .

$- 48 \int \frac{1}{{(2 x + 2)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 8

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Phân tích phân số thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2)}^{2}}$

Bước 8.1.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{{(2 (x) + 2 (1))}^{2}}$

Bước 8.1.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{{(2 (x + 1))}^{2}}$

Bước 8.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x + 1)$ .

$\frac{1}{2^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Bước 8.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 8.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Bước 8.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là $2^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{2^{2} {(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 ({(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.6

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.7.1.2

Chia $(A) \cdot (2^{2})$ cho $1$ .

$1 = (A) \cdot (2^{2}) + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.7.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$1 = A \cdot 4 + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.7.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $A$ .

$1 = 4 \cdot A + \frac{(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Bước 8.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + 1)}^{2}$ và $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.4.1

Đưa $x + 1$ ra ngoài $(B) (2^{2} {(x + 1)}^{2})$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{x + 1}$

Bước 8.1.7.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.4.2.1

Nhân với $1$ .

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 8.1.7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = 4 A + \frac{(x + 1) (B (2^{2} (x + 1)))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 8.1.7.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 = 4 A + \frac{B (2^{2} (x + 1))}{1}$

Bước 8.1.7.4.2.4

Chia $B (2^{2} (x + 1))$ cho $1$ .

$1 = 4 A + B (2^{2} (x + 1))$

Bước 8.1.7.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 = 4 A + 2^{2} B (x + 1)$

Bước 8.1.7.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$1 = 4 A + 4 B (x + 1)$

Bước 8.1.7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B \cdot 1$

Bước 8.1.7.8

Nhân $4$ với $1$ .

$1 = 4 A + 4 B x + 4 B$

Bước 8.1.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.8.1

Di chuyển $B$ .

$1 = 4 A + 4 x B + 4 B$

Bước 8.1.8.2

Sắp xếp lại $4 A$ và $4 x B$ .

$1 = 4 x B + 4 A + 4 B$

Bước 8.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = 4 B$

Bước 8.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

$0 = 4 B$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Giải tìm $B$ trong $0 = 4 B$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3.1.2

Chia mỗi số hạng trong $4 B = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 B = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3.1.2.2.1.2

Chia $B$ cho $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = \frac{0}{4}$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

$B = 0$

$1 = 4 A + 4 B$

Bước 8.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $1 = 4 A + 4 B$ bằng $0$ .

$1 = 4 A + 4 (0)$

$B = 0$

Bước 8.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Rút gọn $4 A + 4 (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$1 = 4 A + 0$

$B = 0$

Bước 8.3.2.2.1.2

Cộng $4 A$ và $0$ .

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

$1 = 4 A$

$B = 0$

Bước 8.3.3

Giải tìm $A$ trong $1 = 4 A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = 0$

Bước 8.3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $4 A = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 A = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Bước 8.3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Bước 8.3.3.2.2.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 0$

Bước 8.3.4

Giải hệ phương trình.

$A = \frac{1}{4} B = 0$

Bước 8.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = \frac{1}{4}, B = 0$

Bước 8.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 8.5.2

Kết hợp.

$\frac{1 \cdot 1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 8.5.3

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 8.5.4

Chia $0$ cho $x + 1$ .

$\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} + 0$

Bước 8.5.5

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$- 48 \int \frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 9

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- 48 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x) + \int 48 d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $- 48$ .

$\frac{- 48}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 48$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 48$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{4 (1)} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 10.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 12}{1} \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 10.2.2.4

Chia $- 12$ cho $1$ .

$- 12 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int 48 d x$

Bước 11

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 11.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- 12 \int \frac{1}{u^{2}} d u + \int 48 d x$

Bước 12

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 12 \int {(u^{2})}^{- 1} d u + \int 48 d x$

Bước 12.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \int u^{2 \cdot - 1} d u + \int 48 d x$

Bước 12.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 12 \int u^{- 2} d u + \int 48 d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- 12 (- u^{- 1} + C) + \int 48 d x$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 12 (- u^{- 1} + C) + 48 x + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$- 12 (- \frac{1}{u}) + 48 x + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$12 \frac{1}{u} + 48 x + C$

Bước 15.2.2

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{12}{u} + 48 x + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = - \frac{48}{{(2 x + 2)}^{2}} + 48$ .

$F (x) =$ $\frac{12}{x + 1} + 48 x + C$