Giải tích Ví dụ

${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ ở dạng $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\int (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) + \tan (x)) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sec (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $\sec (x) \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3.1.1.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân $\tan (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Bước 4.3.1.2.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Bước 4.3.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.3.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\tan (x) \sec (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 4.3.3

Cộng $\sec (x) \tan (x)$ và $\sec (x) \tan (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 6

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\tan (x) + C + 2 \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 8

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\sec (x) \tan (x)$ , tích phân của $\sec (x) \tan (x)$ là $\sec (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Bước 9

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 12

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $\tan (x)$ và $\tan (x)$ .

$C + 2 (\sec (x) + C) - x + C + 2 \tan (x) + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

$2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $2 \sec (x) - x + 2 \tan (x) + C$