Giải tích Ví dụ

$3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Bước 1

Viết $3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x^{- 3} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int x^{4} d x + \int 16 x^{7} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + \int 16 x^{7} d x$

Bước 11

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 \int x^{7} d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{7}$ đối với $x$ là $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{1}{8} x^{8} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $x^{8}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{5} x^{5} + C + 16 (\frac{x^{8}}{8} + C)$

Bước 13.2

Rút gọn.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 16 \frac{x^{8}}{8} + C$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Kết hợp $16$ và $\frac{x^{8}}{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{16 x^{8}}{8} + C$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $16 x^{8}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8} + C$

Bước 13.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.2.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 (1)} + C$

Bước 13.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{8 (2 x^{8})}{8 \cdot 1} + C$

Bước 13.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{8}}{1} + C$

Bước 13.3.2.2.4

Chia $2 x^{8}$ cho $1$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{x^{5}}{5} + 2 x^{8} + C$

Bước 13.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{- 3} - 2 x^{- 2} + x^{4} + 16 x^{7}$ .

$F (x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{2}{x} + \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{8} + C$