Giải tích Ví dụ

$\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Bước 1

Viết $\tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \tan^{9} (x) \sec^{4} (x) d x$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int \tan^{9} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Bước 4.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 5

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{9} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Bước 6

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 6.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{9} (1 + u^{2}) d u$

Bước 7

Nhân $u^{9} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{9} \cdot 1 + u^{9} u^{2} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $u^{9}$ với $1$ .

$\int u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Bước 8.2

Nhân $u^{9}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Bước 8.2.2

Cộng $9$ và $2$ .

$\int u^{9} + u^{11} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{9} d u + \int u^{11} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{9}$ đối với $u$ là $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int u^{11} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{11}$ đối với $u$ là $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Bước 12

Rút gọn.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{1}{12} u^{12} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan^{9} (x) \sec^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan^{10} (x) + \frac{1}{12} \tan^{12} (x) + C$