Giải tích Ví dụ

$\sin^{-1} (d x)$

Bước 1

Viết $\sin^{-1} (d x)$ ở dạng một hàm số.

$f (d) = \sin^{-1} (d x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (d)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (d) = \int \sin^{-1} (d x) d \cdot d$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin^{-1} (d x)$ và $d v = 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int d \frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Bước 5

Kết hợp $d$ và $\frac{x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - \int \frac{d x}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d$

Bước 6

Vì $x$ không đổi đối với $d$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$\sin^{-1} (d x) d - (x \int \frac{d}{\sqrt{1 - d^{2} x^{2}}} d \cdot d)$

Bước 7

Giả sử $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 \cdot d x^{2} d \cdot d$ , nên $\frac{1}{- 2 x^{2}} d u = d \cdot d \cdot d$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 1 - d^{2} x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d \cdot d}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1 - d^{2} x^{2}]$

Bước 7.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - d^{2} x^{2}$ đối với $d$ là $\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [1] + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Bước 7.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $d$ , đạo hàm của $1$ đối với $d$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$

Bước 7.1.3

Tính $\frac{d}{d \cdot d} [- d^{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Vì $- x^{2}$ không đổi đối với $d$ , nên đạo hàm của $- d^{2} x^{2}$ đối với $d$ là $- x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$ .

$0 - x^{2} \frac{d}{d \cdot d} [d^{2}]$

Bước 7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ là $n d^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - x^{2} (2 d)$

Bước 7.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x^{2} d$

Bước 7.1.4

Trừ $2 x^{2} d$ khỏi $0$ .

$- 2 x^{2} d$

Bước 7.1.5

Sắp xếp lại $- 2 x^{2}$ và $d$ .

$d (- 2 x^{2})$

Bước 7.1.6

Sắp xếp lại $d$ và $- 2$ .

$- 2 \cdot d x^{2}$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2 x^{2}} d u$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin^{-1} (d x) d - x \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2 x^{2}}) d u$

Bước 8.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{\sqrt{u} (2 x^{2})} d u$

Bước 8.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\sin^{-1} (d x) d - x \int - \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin^{-1} (d x) d - x (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 1 x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Bước 10.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + x \int \frac{1}{2 \sqrt{u} x^{2}} d u$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2 x^{2}}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2 x^{2}}$ ra khỏi tích phân.

$\sin^{-1} (d x) d + x (\frac{1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{2}}$ và $x$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x^{1}}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{2 x^{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{x \cdot 1}{x (2 x)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 12.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 12.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 12.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 12.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 12.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại $\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{2 x} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\sin^{-1} (d x) d + 2 \frac{1}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 x}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{2}{2 x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{1}{x} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 14.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{u^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - d^{2} x^{2}$ .

$\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (d) = \sin^{-1} (d x)$ .

$F (d) =$ $\sin^{-1} (d x) d + \frac{{(1 - d^{2} x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x} + C$