Giải tích Ví dụ

$\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x}{x^{2}} d x$

Bước 4.1.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{x^{2}} d x$

Bước 4.1.2.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- x$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Bước 4.1.2.3

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3

Nhân $x^{2}$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4 - 1}{2}}} d x$

Bước 4.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int \frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 5

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 6.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Bước 6.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (1 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 7.2

Nhân $x^{- \frac{3}{2}}$ với $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 7.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}) d x$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d x$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{1 - 3}{2}} d x$

Bước 7.6

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 2}{2}} d x$

Bước 7.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d x$

Bước 7.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d x$

Bước 7.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d x$

Bước 7.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{\frac{- 1}{1}} d x$

Bước 7.7.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} - x^{- 1} d x$

Bước 7.8

Sắp xếp lại $x^{- \frac{3}{2}}$ và $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int x^{- 1} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 10

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| x |) + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$- \ln (| x |) - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \ln (| x |) + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 12.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x} - x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$