Giải tích Ví dụ

$\sin (\ln (x))$

Bước 1

Viết $\sin (\ln (x))$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Bước 5

Sắp xếp lại $e^{u}$ và $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = \sin (u)$ và $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Bước 7

Sắp xếp lại $e^{u}$ và $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = \cos (u)$ và $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Bước 10

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Bước 10.2

Nhân $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ với $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Bước 11

Khi giải tìm $\int e^{u} \sin (u) d u$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Bước 12

Viết lại $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Bước 14.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Bước 14.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Bước 14.4

Nhân $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Kết hợp $\sin (\ln (x))$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Bước 14.4.2

Kết hợp $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ và $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Bước 14.5

Nhân $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Bước 14.5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Bước 14.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Bước 15

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$