Giải tích Ví dụ

$\sin^{3} (2 x)$

Bước 1

Viết $\sin^{3} (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 5

Kết hợp $\sin^{3} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Đưa $\sin^{2} (u_{1})$ ra ngoài.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Bước 9.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Bước 15.4

Kết hợp.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Bước 15.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Nhân $\cos^{3} (2 x)$ với $1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Bước 15.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$