Giải tích Ví dụ

$e^{x} (- \sin (x))$

Bước 1

Viết $e^{x} (- \sin (x))$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} (- \sin (x))$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Bước 5

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\sin (x)$ .

$- \int \sin (x) e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x)$

Bước 7

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x)$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x))$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Bước 10

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Bước 10.2

Nhân $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ với $1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Bước 11

Khi giải tìm $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$- (\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C)$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $- (\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C)$ ở dạng $- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$ .

$- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Bước 12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (- \sin (x))$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$