Giải tích Ví dụ

$π {(e^{- 2 x})}^{2}$

Bước 1

Viết $π {(e^{- 2 x})}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = π {(e^{- 2 x})}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int π {(e^{- 2 x})}^{2} d x$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int π e^{- 2 x \cdot 2} d x$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\int π e^{- 4 x} d x$

Bước 5

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$π \int e^{- 4 x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 6.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$π \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 7.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$π \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$π (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$π (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Bước 10

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{π}{4} \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{π}{4} (e^{u} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{π}{4} e^{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$- \frac{π}{4} e^{- 4 x} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = π {(e^{- 2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{π}{4} e^{- 4 x} + C$