Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Bước 1

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Bước 2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Bước 2.2

Viết lại $\cot (0)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Bước 2.4

Vì $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Bước 4

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Bước 4.1.1.2

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Bước 4.1.1.3

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 4.1.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{\infty}{- \infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 4.1.3.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 4.1.3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Bước 4.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Bước 4.2

Viết lại $- \csc^{2} (x) x$ ở dạng $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Bước 4.3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Bước 4.3.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Bước 4.3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Bước 4.3.1.3.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 4.3.1.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 4.3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 4.3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Bước 4.3.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Bước 4.3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Bước 4.3.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Bước 4.3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Bước 4.3.3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Bước 4.3.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Bước 4.3.3.6

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Bước 4.3.3.7

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Bước 4.3.3.8

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Bước 4.3.3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Bước 4.3.3.10

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Bước 4.3.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.11.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Bước 4.3.3.11.2

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Bước 4.3.3.11.3

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 4.3.3.11.4

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.11.4.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 4.3.3.11.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 4.3.3.11.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Bước 4.3.3.11.5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Bước 4.3.4

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Bước 4.3.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 x)}$ sang $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Bước 4.3.6

Chia $- 1$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Bước 4.4

Vì hàm số $\csc (2 x)$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $- 1$ đã bị loại bỏ.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Bước 4.4.2

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\infty$

Bước 4.4.3

Vì hàm số $\csc (2 x)$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

$- \infty$

Bước 5

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$