Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Bước 1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Bước 1.3.1.2

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Bước 1.3.1.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Bước 1.3.3.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Bước 1.3.3.3

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \ln (\sec (x))$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.5

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.6

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.7

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Bước 3.8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Bước 3.9

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Bước 3.10

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Bước 3.11.1.2

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Bước 3.11.1.3

Viết lại $2 \cos (x) \sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Bước 3.11.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Bước 3.11.2

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Bước 3.11.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 3.11.4

Kết hợp $2$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Bước 5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Bước 6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Bước 7

Quy đổi từ $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ sang $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Bước 8

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Bước 9

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Bước 10

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $1$ .

$1$

Bước 11

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Bước 12

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Bước 13

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $x \cot (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $1$ .

$1$