Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.1.2

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.1.3

Tính giới hạn của $8$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.2.3.2

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + 2 x - 20}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Bước 1.3.2

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 20}$

Bước 1.3.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 20}$

Bước 1.3.4

Tính giới hạn của $20$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Bước 1.3.5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{0}{2^{4} + 2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 20}$

Bước 1.3.5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{0}{2^{4} + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Bước 1.3.6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{0}{16 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 20}$

Bước 1.3.6.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 1 \cdot 20}$

Bước 1.3.6.1.3

Nhân $- 1$ với $20$ .

$\frac{0}{16 + 4 - 20}$

Bước 1.3.6.2

Cộng $16$ và $4$ .

$\frac{0}{20 - 20}$

Bước 1.3.6.3

Trừ $20$ khỏi $20$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.6.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 8}{x^{4} + 2 x - 20} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3.4

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x - 20]}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 2 x - 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Bước 3.8

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Bước 3.8.3

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 20]}$

Bước 3.9

Vì $- 20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 20$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2 + 0}$

Bước 3.10

Cộng $4 x^{3} + 2$ và $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 lim_{x \to 2} \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 2}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$3 \frac{lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 2}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Bước 8

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Bước 9

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 2}$

Bước 10

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$3 \frac{2^{2}}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$3 \frac{2^{2}}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 2^{3} + 2}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 \frac{4}{4 \cdot 8 + 2}$

Bước 12.2.2

Nhân $4$ với $8$ .

$3 \frac{4}{32 + 2}$

Bước 12.2.3

Cộng $32$ và $2$ .

$3 (\frac{4}{34})$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$3 \frac{2 (2)}{34}$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $34$ .

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Bước 12.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 17}$

Bước 12.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{2}{17})$

Bước 12.4

Nhân $3 (\frac{2}{17})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{17}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{17}$

Bước 12.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{17}$