Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.5.1.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.5.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.2.5.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Bước 1.3.1.2

Tính giới hạn của $\frac{π}{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Bước 1.3.3.2

Trừ $π$ khỏi $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Bước 1.3.3.3

Chia $0$ cho $4$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - \cot (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cot (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.4.4

Nhân $\csc^{2} (x)$ với $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{π}{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Bước 3.7

Vì $- \frac{π}{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{π}{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

Bước 3.8

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

Bước 4

Chia $\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Bước 6

Đưa số mũ $2$ từ $\sec^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Bước 7

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $\csc^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào bên trong hàm lượng giác vì cosecant liên tục.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{4}$ cho $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.3.6.5

Tính số mũ.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.5.5

Tính số mũ.

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 11.1.6

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 11.1.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 11.1.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 11.1.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 11.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 11.1.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 + 2^{1}$

Bước 11.1.7.5

Tính số mũ.

$2 + 2$

Bước 11.2

Cộng $2$ và $2$ .

$4$