Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Bước 1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Bước 1.3.2

Vì số mũ $5 x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{5 x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Bước 1.3.3

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Bước 1.3.4

Vô cùng cộng vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.3.5

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 5 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.4.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.6

Cộng $8 x - 5$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{5 x} + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8

Tính $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.4

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.8.5

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.9

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{1}{x}}$

Bước 3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + 5 e^{5 x}}$

Bước 4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để viết $5 e^{5 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + \frac{5 e^{5 x} x}{x}}$

Bước 4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1 + 5 e^{5 x} x}{x}}$

Bước 5

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} (8 x - 5) \frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 5.2

Nhân $8 x - 5$ với $\frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} (8 x - 5) x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x \cdot x - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x^{1}) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{1 + 1} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.2.6

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.3.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Bước 6.1.3.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Bước 6.1.3.1.4

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Bước 6.1.3.2

Vì số mũ $5 x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{5 x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Bước 6.1.3.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.1

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot \infty}$

Bước 6.1.3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.2.1.1

Một hằng số khác 0 nhân với vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{1 + \infty \cdot \infty}$

Bước 6.1.3.3.2.1.2

Vô cùng nhân vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{1 + \infty}$

Bước 6.1.3.3.2.2

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 6.1.3.3.2.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 6.1.3.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 6.1.3.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 6.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 8 x - 5$ và $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.4

Nhân $8 x - 5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.6

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.8

Nhân $8$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.9

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.10

Cộng $8$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \cdot 8}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.11

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 8 \cdot x}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.12

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.13

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 5 e^{5 x} x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.14

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.15

Tính $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.15.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 e^{5 x} x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]}$

Bước 6.3.15.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{5 x}$ và $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Bước 6.3.15.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Bước 6.3.15.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.15.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Bước 6.3.15.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Bước 6.3.15.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Bước 6.3.15.5

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Bước 6.3.15.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Bước 6.3.15.7

Nhân $e^{5 x}$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Bước 6.3.15.8

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} \cdot 5))}$

Bước 6.3.15.9

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (5 e^{5 x}))}$

Bước 6.3.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 5 (x (5 e^{5 x}))}$

Bước 6.3.16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.16.2.1

Nhân $5$ với $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 25 (x (e^{5 x}))}$

Bước 6.3.16.2.2

Cộng $0$ và $5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}}$

Bước 6.3.16.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}}$

Bước 6.3.16.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Bước 7

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} 16 x - 5}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.1.3

Tính giới hạn của $25$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.1.4

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.2

Vì số mũ $5 x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{5 x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.3

Vì hàm số $e^{5 x}$ tiến dần đến $\infty$ , hằng số dương $5$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.3.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $5$ đã bị loại bỏ.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Bước 7.1.3.3.2

Vì số mũ $5 x$ tiến dần đến $\infty$ , nên số lượng $e^{5 x}$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}$

Bước 7.1.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.4.1.1

Một hằng số khác 0 nhân với vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty \cdot \infty + \infty}$

Bước 7.1.3.4.1.2

Vô cùng nhân vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Bước 7.1.3.4.2

Vô cùng cộng vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.1.3.4.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.1.3.5

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $16 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.3

Tính $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.3.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.3.3

Nhân $16$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.5

Cộng $16$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7

Tính $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.7.1

Vì $25$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $25 x e^{5 x}$ đối với $x$ là $25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.7.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.7

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.8

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.7.9

Nhân $e^{5 x}$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Bước 7.3.8

Tính $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.8.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 e^{5 x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Bước 7.3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.8.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Bước 7.3.8.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Bước 7.3.8.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Bước 7.3.8.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Bước 7.3.8.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Bước 7.3.8.5

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Bước 7.3.8.6

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (5 \cdot e^{5 x})}$

Bước 7.3.8.7

Nhân $5$ với $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 25 e^{5 x}}$

Bước 7.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Bước 7.3.9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.9.2.1

Nhân $5$ với $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 (x (e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Bước 7.3.9.2.2

Cộng $25 e^{5 x}$ và $25 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Bước 7.3.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}}$

Bước 7.3.9.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$16 lim_{x \to \infty} \frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$ tiến dần đến $0$ .

$16 \cdot 0$

Bước 10

Nhân $16$ với $0$ .

$0$