Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} (x)}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.2

Đưa số mũ $6$ từ $x^{6}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Nhân $0^{6}$ với $0$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Nhân $0^{6}$ với $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1.1

Nâng $0$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0^{1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.4.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{0^{6 + 1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.4.1.2

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{0^{7}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.2.4.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 1.3.1.2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Bước 1.3.1.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{6^{0} - 1 \cdot 1}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 1.3.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Bước 1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3.2

Nhân $x^{6}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $x^{6}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} x^{1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6 + 1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3.2.2

Cộng $6$ và $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6^{x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + 0}$

Bước 3.7

Cộng $6^{x} \ln (6)$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{7}{\ln (6)}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} lim_{x \to 0} \frac{x^{6}}{6^{x}}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Bước 6

Đưa số mũ $6$ từ $x^{6}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Bước 7

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{0}}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp.

$\frac{7 \cdot 0^{6}}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Bước 9.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Bước 9.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 1}$

Bước 9.4

Nhân $7$ với $0$ .

$\frac{0}{\ln (6) \cdot 1}$

Bước 9.5

Nhân $\ln (6)$ với $1$ .

$\frac{0}{\ln (6)}$

Bước 9.6

Chia $0$ cho $\ln (6)$ .

$0$