Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.1.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.1.3

Đưa số mũ $\frac{1}{8}$ từ ${(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.1.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.1.5

Tính giới hạn của $256$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - {(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.1.6

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nhân $- 7$ với $0$ .

$\frac{2 - {(256 + 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.2

Cộng $256$ và $0$ .

$\frac{2 - 256^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.3

Viết lại $256$ ở dạng $2^{8}$ .

$\frac{2 - {(2^{8})}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 - 2^{1}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.6

Tính số mũ.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.1.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.2.3.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Bước 1.3.1.2

Đưa số mũ $\frac{1}{5}$ từ ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Bước 1.3.1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Bước 1.3.1.4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Bước 1.3.1.5

Tính giới hạn của $32$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Bước 1.3.1.6

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.2

Cộng $0$ và $32$ .

$\frac{0}{32^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.3

Viết lại $32$ ở dạng $2^{5}$ .

$\frac{0}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{0}{2^{1} - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.6

Tính số mũ.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Bước 1.3.3.1.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Bước 1.3.3.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ và $g (x) = 256 - 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $256 - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.4

Vì $256$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $256$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.5

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.10.2

Trừ $8$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{- 7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.12

Nhân $- 7$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.13

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.14

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.15

Kết hợp $\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}$ và $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.16

Di chuyển $- 7$ sang phía bên trái của ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7 {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.17

Di chuyển ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.19

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.4.20

Nhân $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7

Tính $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ và $g (x) = 5 x + 32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x + 32$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.5

Vì $32$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $32$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.9.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.9.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{- 4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.11

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.12

Cộng $5$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.13

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.14

Kết hợp $\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ và $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.15

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 \cdot {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.16

Nhân $5$ với ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.17

Di chuyển ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.18

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.7.19

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Bước 3.8

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + 0}$

Bước 3.9

Cộng $\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}$ và $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ và ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $\frac{7}{8}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7}{8} lim_{x \to 0} \frac{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 8

Đưa số mũ $\frac{4}{5}$ từ ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 10

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 11

Tính giới hạn của $32$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 12

Đưa số mũ $\frac{7}{8}$ từ ${(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 13

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 14

Tính giới hạn của $256$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 15

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 16

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 16.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp.

$\frac{7 {(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{7 {(0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.2

Cộng $0$ và $32$ .

$\frac{7 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.3

Viết lại $32$ ở dạng $2^{5}$ .

$\frac{7 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7 \cdot 2^{4}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.2.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Nhân $- 7$ với $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 + 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.3.2

Cộng $256$ và $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 256^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.3.3

Viết lại $256$ ở dạng $2^{8}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot {(2^{8})}^{\frac{7}{8}}}$

Bước 17.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Bước 17.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Bước 17.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{7}}$

Bước 17.3.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 128}$

Bước 17.4

Nhân $7$ với $16$ .

$\frac{112}{8 \cdot 128}$

Bước 17.5

Nhân $8$ với $128$ .

$\frac{112}{1024}$

Bước 17.6

Triệt tiêu thừa số chung của $112$ và $1024$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.6.1

Đưa $16$ ra ngoài $112$ .

$\frac{16 (7)}{1024}$

Bước 17.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.6.2.1

Đưa $16$ ra ngoài $1024$ .

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Bước 17.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Bước 17.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{64}$