Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ ở dạng ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 2 - x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Bước 1.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Bước 1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 1.1.2.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.10.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Bước 1.1.2.12

Nhân $3$ với $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Bước 1.1.2.13

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Bước 1.1.2.14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Bước 1.1.2.15

Kết hợp $- 3$ và $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Bước 1.1.2.16

Kết hợp $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Bước 1.1.2.17

Di chuyển ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.2.18

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.2.19

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.19.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 1.1.2.19.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.2.19.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.2.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Bước 2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = 1$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Bước 3.2

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Bước 3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ ở dạng ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Bước 3.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đặt $2 - x^{3}$ bằng $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Bước 3.3.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{3} = - 2$

Bước 3.3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{3} = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{3} = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.2.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 3.3.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Bước 3.3.3.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{2}$

Bước 4

Tính $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Bước 4.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Bước 4.1.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Bước 4.1.2.1.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$1 + 1$

Bước 4.1.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = \sqrt[3]{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $\sqrt[3]{2}$ bằng $x$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Viết lại ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 4.2.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 4.2.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Bước 4.2.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Bước 4.2.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Bước 4.2.2.1.1.5

Tính số mũ.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Bước 4.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Bước 4.2.2.1.3

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2.1.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Bước 4.2.2.2

Cộng $\sqrt[3]{2}$ và $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Bước 5