Giải tích Ví dụ

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x^{2} - 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Bước 1.1.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Bước 1.1.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Bước 1.1.2.4.3

Kết hợp $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ và $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.3.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.1.3.3.2

Nhân $2$ với $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3} - 32 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Bước 2.3.1.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Bước 2.3.1.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Bước 2.3.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Bước 2.3.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Bước 2.3.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Bước 2.3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 2.3.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.3.4

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 2.3.4.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.3.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 2.3.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 2.3.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, - 4, 4$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Bước 3.2.2

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Bước 3.2.3

Cộng $16$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 16$

Bước 3.2.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Bước 3.2.5

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Bước 3.2.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Bước 3.2.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Bước 3.2.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Bước 3.2.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Bước 4

Tính $| x^{2} - 16 |$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$| 0 - 16 |$

Bước 4.1.2.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$| - 16 |$

Bước 4.1.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 16$ và $0$ là $16$ .

$16$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 4$ bằng $x$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$| 16 - 16 |$

Bước 4.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$| 0 |$

Bước 4.2.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$| 16 - 16 |$

Bước 4.3.2.2

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$| 0 |$

Bước 4.3.2.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Bước 5