Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2} \ln (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.5

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.2.6.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x^{2}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Bước 1.1.4.2.2

Trừ $14 x$ khỏi $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Bước 1.1.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Bước 2.2

Cộng $12 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x \ln (x) = 12 x$ cho $4 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x \ln (x) = 12 x$ cho $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Bước 2.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Bước 2.3.2.2.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Bước 2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Bước 2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Bước 2.3.3.2.2

Chia $3$ cho $1$ .

$\ln (x) = 3$

Bước 2.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Bước 2.5

Viết lại $\ln (x) = 3$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Bước 2.6

Viết lại phương trình ở dạng $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đối số trong $\ln (x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x \leq 0$

Bước 3.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Bước 4

Tính $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = e^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $e^{3}$ bằng $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $3$ ra khỏi số mũ.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.5

Nhân $3$ với $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân các số mũ trong ${(e^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.1.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Bước 4.1.2.2

Trừ $7 e^{6}$ khỏi $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Bước 4.2.2

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(e^{3}, - e^{6})$

Bước 5