Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\sec (u)$ đối với $u$ là $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Bước 1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{π}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{π x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Kết hợp $\frac{π}{4}$ và $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.2.2

Kết hợp $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ và $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Bước 1.1.2.4

Nhân $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $\sec (\frac{π x}{4})$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $\sec (\frac{π x}{4})$ bằng với $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Bước 2.3.2.2

Khoảng biến thiên của secant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $0$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.3.3

Đặt $\tan (\frac{π x}{4})$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $\tan (\frac{π x}{4})$ bằng với $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Bước 2.3.3.2

Giải $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Bước 2.3.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Bước 2.3.3.2.3

Cho tử bằng không.

$π x = 0$

Bước 2.3.3.2.4

Chia mỗi số hạng trong $π x = 0$ cho $π$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $π x = 0$ cho $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Bước 2.3.3.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Bước 2.3.3.2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Bước 2.3.3.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.4.3.1

Chia $0$ cho $π$ .

$x = 0$

Bước 2.3.3.2.5

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Bước 2.3.3.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1

Rút gọn $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Bước 2.3.3.2.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.2.1

Rút gọn $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Cộng $π$ và $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Bước 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{4}{π} π$

Bước 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = 4$

Bước 2.3.3.2.7

Tìm chu kỳ của $\tan (\frac{π x}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.3.3.2.7.2

Thay thế $b$ với $\frac{π}{4}$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Bước 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ xấp xỉ $0.78539816$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Bước 2.3.3.2.7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$π \frac{4}{π}$

Bước 2.3.3.2.7.5

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.7.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$π \frac{4}{π}$

Bước 2.3.3.2.7.5.2

Viết lại biểu thức.

$4$

Bước 2.3.3.2.8

Chu kỳ của hàm $\tan (\frac{π x}{4})$ là $4$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $4$ radian theo cả hai hướng.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ đúng.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.4

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = 4 n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đối số trong $\sec (\frac{π x}{4})$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Rút gọn $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1.2.1

Đưa $π$ ra ngoài $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Rút gọn $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.4.1

Đưa $π$ ra ngoài $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Bước 3.2.2.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Bước 3.2.2.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$x = 2 + 4 n$

Bước 3.2.3

Sắp xếp lại $2$ và $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Bước 3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 4

Tính $\sec (\frac{π x}{4})$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Bước 4.1.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Bước 4.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Bước 4.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Bước 4.1.2.1.2.4

Chia $π \cdot (0)$ cho $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Bước 4.1.2.2

Nhân $π$ với $0$ .

$\sec (0)$

Bước 4.1.2.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Bước 4.2.2.1.2

Chia $π$ cho $1$ .

$\sec (π)$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \sec (0)$

Bước 4.2.2.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.2.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5