Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(3 x - 7)}^{2}$ ở dạng $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

Bước 1.1.2

Khai triển $(3 x - 7) (3 x - 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.4

Nhân $- 7$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân $3$ với $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

Bước 1.1.3.1.6

Nhân $- 7$ với $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

Bước 1.1.3.2

Trừ $21 x$ khỏi $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

Bước 1.1.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} - 42 x + 49$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.5

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.7

Nhân $2$ với $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.8

Vì $- 42$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 42 x$ đối với $x$ là $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.10

Nhân $- 42$ với $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.1.11

Vì $49$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $49$ đối với $x$ là $0$ .

$18 x - 42 + 0$

Bước 1.1.12

Cộng $18 x - 42$ và $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $18 x - 42 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$18 x - 42 = 0$

Bước 2.2

Cộng $42$ cho cả hai vế của phương trình.

$18 x = 42$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $18 x = 42$ cho $18$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $18 x = 42$ cho $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $42$ .

$x = \frac{6 (7)}{18}$

Bước 2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Bước 2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Bước 2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{7}{3}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = 18 x - 42$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{7}{3})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{4}{3}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

Bước 5.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

Bước 5.2.1.2

Nhân $6$ với $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

Bước 5.2.2

Trừ $42$ khỏi $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 18$ .

$- 18$

Bước 5.3

Tại $x = \frac{4}{3}$ đạo hàm là $- 18$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{7}{3})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{7}{3}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{10}{3}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

Bước 6.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

Bước 6.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

Bước 6.2.1.2

Nhân $6$ với $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

Bước 6.2.2

Trừ $42$ khỏi $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $18$ .

$18$

Bước 6.3

Tại $x = \frac{10}{3}$ đạo hàm là $18$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{7}{3}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(\frac{7}{3}, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, \frac{7}{3})$

Bước 8