Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{- x} \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Bước 1.1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Bước 1.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Bước 1.1.5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Bước 1.1.5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Bước 1.1.5.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Bước 1.1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Bước 1.1.6.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Bước 1.1.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Bước 2.2

Phân tích $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2 e^{- x}$ ra ngoài $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $2 e^{- x}$ ra ngoài $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $2 e^{- x}$ ra ngoài $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $2 e^{- x}$ ra ngoài $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.2

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Bước 2.2.3

Viết lại $- 1 \cos (x)$ ở dạng $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Bước 2.4

Đặt $e^{- x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $e^{- x}$ bằng với $0$ .

$e^{- x} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $e^{- x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Bước 2.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.5

Đặt $- \sin (x) - \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $- \sin (x) - \cos (x)$ bằng với $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Bước 2.5.2

Giải $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.2

Tách các phân số.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.5.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.6

Tách các phân số.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 2.5.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 2.5.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Bước 2.5.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Bước 2.5.2.10

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = 1$

Bước 2.5.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 2.5.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 2.5.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Bước 2.5.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.11.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Bước 2.5.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 2.5.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2.14

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 2.5.2.15

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.15.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 2.5.2.15.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.5.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.5.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.5.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.5.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.5.2.17

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.17.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 2.5.2.17.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2.17.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.17.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.5.2.17.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 2.5.2.17.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.17.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 2.5.2.17.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 2.5.2.17.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.5.2.18

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Bước 5.3

Tại $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ đạo hàm là $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

Giảm trên $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ trong biểu thức.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Bước 6.3

Tại $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ đạo hàm là $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Bước 8