Giải tích Ví dụ

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

Bước 1

Lập phương trình tham số cho $x (t)$ để giải phương trình cho $t$ .

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

Bước 2

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ .

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

Bước 3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong hàm sin.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

Bước 4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

Bước 5

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Bước 6

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Bước 6.1.2

Viết lại biểu thức.

$t = 2 \arcsin (x)$

Bước 7

Thay thế $t$ trong phương trình cho $y$ để có được phương trình theo $x$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Bước 8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Bước 9

Rút gọn $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arcsin (x)$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

Bước 9.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Bước 9.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y = \cos (\arcsin (x))$

Bước 9.1.2

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arcsin (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Do đó, $\cos (\arcsin (x))$ là $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Bước 9.1.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Bước 9.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$