Giải tích Ví dụ

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $9$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $9 \sin (10 \cos (θ))$ đối với $θ$ là $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \sin (θ)$ và $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $10$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $10 \cos (θ)$ đối với $θ$ là $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Bước 1.3.2

Nhân $10$ với $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

Bước 1.5

Nhân $- 1$ với $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 90$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ đối với $θ$ là $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ và $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \cos (θ)$ và $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $10$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $10 \cos (θ)$ đối với $θ$ là $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

Bước 2.5.2

Nhân $10$ với $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Bước 2.6

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

Bước 2.7

Nhân $- 1$ với $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

Bước 2.8

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Bước 2.9

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Bước 2.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Bước 2.11

Cộng $1$ và $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Bước 2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Bước 2.12.2

Nhân $10$ với $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

Bước 2.12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (θ)$ đối với $θ$ là $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$