Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{36} \tan (6 x - 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{36}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{36} \cdot \tan (6 x - 1)$ đối với $x$ là $\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\tan (6 x - 1)]$ .

$\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\tan (6 x - 1)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 6 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $6 x - 1$ .

$\frac{1}{36} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{36} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 x - 1$ .

$\frac{1}{36} (\sec^{2} (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\sec^{2} (6 x - 1)$ và $\frac{1}{36}$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} \frac{d}{d x} [6 x - 1]$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.3

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.5

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} (6 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} (6 + 0)$

Bước 1.3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36} \cdot 6$

Bước 1.3.7.2

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{36}$ và $6$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1) \cdot 6}{36}$

Bước 1.3.7.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{6 \cdot \sec^{2} (6 x - 1)}{36}$

Bước 1.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 \sec^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{6 (\sec^{2} (6 x - 1))}{36}$

Bước 1.3.7.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $36$ .

$\frac{6 \sec^{2} (6 x - 1)}{6 \cdot 6}$

Bước 1.3.7.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \sec^{2} (6 x - 1)}{6 \cdot 6}$

Bước 1.3.7.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{6}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x - 1)]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (6 x - 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (6 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (6 x - 1)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{6} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (6 x - 1)$ .

$\frac{1}{6} (2 \sec (6 x - 1) \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)])$

Bước 2.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} (\sec (6 x - 1) \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)])$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\sec (6 x - 1)$ và $\frac{2}{6}$ .

$\frac{\sec (6 x - 1) \cdot 2}{6} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (6 x - 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (6 x - 1)}{6} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sec (6 x - 1)$ .

$\frac{2 (\sec (6 x - 1))}{6} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \sec (6 x - 1)}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sec (6 x - 1)}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec (6 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [\sec (6 x - 1)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 6 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $6 x - 1$ .

$\frac{\sec (6 x - 1)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{\sec (6 x - 1)}{3} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $6 x - 1$ .

$\frac{\sec (6 x - 1)}{3} (\sec (6 x - 1) \tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.5

Kết hợp $\sec (6 x - 1)$ và $\frac{\sec (6 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\sec (6 x - 1) \sec (6 x - 1)}{3} (\tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.6

Nâng $\sec (6 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{1} (6 x - 1) \sec (6 x - 1)}{3} (\tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.7

Nâng $\sec (6 x - 1)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec^{1} (6 x - 1) \sec^{1} (6 x - 1)}{3} (\tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sec (6 x - 1)}^{1 + 1}}{3} (\tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{3} (\tan (6 x - 1) \frac{d}{d x} [6 x - 1])$

Bước 2.9.2

Kết hợp $\tan (6 x - 1)$ và $\frac{\sec^{2} (6 x - 1)}{3}$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} \frac{d}{d x} [6 x - 1]$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.11

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.13

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} (6 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 2.14

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} (6 + 0)$

Bước 2.15

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3} \cdot 6$

Bước 2.15.2

Kết hợp $\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{3}$ và $6$ .

$\frac{\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1) \cdot 6}{3}$

Bước 2.15.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{6 \cdot (\tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1))}{3}$

Bước 2.15.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)$ .

$\frac{3 (2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1))}{3}$

Bước 2.15.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1))}{3 (1)}$

Bước 2.15.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1))}{3 \cdot 1}$

Bước 2.15.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)}{1}$

Bước 2.15.4.2.4

Chia $2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)$ cho $1$ .

$2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)$

Bước 2.15.5

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (6 x - 1) \sec^{2} (6 x - 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (6 x - 1) \tan (6 x - 1)$