Giải tích Ví dụ

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - \frac{π}{6}$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{π}{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Bước 1.2.3

Vì $- \frac{π}{6}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{π}{6}$ đối với $x$ là $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Bước 1.2.4.2

Nhân $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ với $1$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x - \frac{π}{6})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.3

Nâng $\sec (x - \frac{π}{6})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.4

Nâng $\sec (x - \frac{π}{6})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{π}{6}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Bước 2.9

Vì $- \frac{π}{6}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{π}{6}$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Bước 2.10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$