Giải tích Ví dụ

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \sec (θ)$ và $g (θ) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 1.3

Nhân $\sec (θ)$ với $\sec^{2} (θ)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\sec (θ)$ với $\sec^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 1.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (θ)}^{1 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\sec (θ)$ đối với $θ$ là $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 1.5

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ)$

Bước 1.6

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ)$

Bước 1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec^{3} (θ) + {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ)$

Bước 1.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{2} (θ) \sec (θ)$

Bước 1.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (θ) = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \tan^{2} (θ)$ và $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sec (θ)$ đối với $θ$ là $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.4

Đạo hàm của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.5

Nhân $\tan^{2} (θ)$ với $\tan (θ)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Di chuyển $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.5.2

Nhân $\tan (θ)$ với $\tan^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\tan (θ)}^{1 + 2} \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.6

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) {\sec (θ)}^{1 + 2} + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.2.8

Cộng $1$ và $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{3}$ và $g (θ) = \sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sec (θ)$ đối với $θ$ là $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 2.3.3

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) \tan (θ)$

Bước 2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {\sec (θ)}^{1 + 2} \tan (θ)$

Bước 2.3.5

Cộng $1$ và $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

Bước 2.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (θ) \sec^{3} (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

Bước 2.4.2

Cộng $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ và $3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ .

$f'' (θ) = \tan^{3} (θ) \sec (θ) + 5 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$