Giải tích Ví dụ

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $2 \cos (θ)$ đối với $θ$ là $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ đối với $θ$ là $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \cos (θ)$ và $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.4

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.5

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.6

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.9

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.10

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (θ)$ đối với $θ$ là $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Bước 2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (θ)$ đối với $θ$ là $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$