Giải tích Ví dụ

$f' (p) = \frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} (7 p^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{d}{d p} \cdot 14700 - \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d p} [\frac{d}{d p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d p} [\frac{1}{p} \cdot 14700] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{p}$ và $14700$ .

$\frac{d}{d p} [\frac{14700}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.3

Vì $14700$ không đổi đối với $p$ , nên đạo hàm của $\frac{14700}{p}$ đối với $p$ là $14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}]$ .

$14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.4

Viết lại $\frac{1}{p}$ ở dạng $p^{- 1}$ .

$14700 \frac{d}{d p} [p^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$14700 (- p^{- 2}) + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.2.6

Nhân $- 1$ với $14700$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{d}{d p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- \frac{1}{p} \cdot (7 p^{2})]$

Bước 1.3.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 \frac{1}{p} \cdot p^{2}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{p}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7}{p} \cdot p^{2}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{- 7}{p}$ và $p^{2}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p^{2}}{p}]$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $p^{2}$ và $p$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $p$ ra ngoài $- 7 p^{2}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p}]$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p^{1}}]$

Bước 1.3.5.2.2

Đưa $p$ ra ngoài $p^{1}$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Bước 1.3.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{p (- 7 p)}{p \cdot 1}]$

Bước 1.3.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [\frac{- 7 p}{1}]$

Bước 1.3.5.2.5

Chia $- 7 p$ cho $1$ .

$- 14700 p^{- 2} + \frac{d}{d p} [- 7 p]$

Bước 1.3.6

Vì $- 7$ không đổi đối với $p$ , nên đạo hàm của $- 7 p$ đối với $p$ là $- 7 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \frac{d}{d p} [p]$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7 \cdot 1$

Bước 1.3.8

Nhân $- 7$ với $1$ .

$- 14700 p^{- 2} - 7$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14700 \frac{1}{p^{2}} - 7$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp $- 14700$ và $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\frac{- 14700}{p^{2}} - 7$

Bước 1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (p) = - \frac{14700}{p^{2}} - 7$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{14700}{p^{2}} - 7$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$ .

$\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d p} [- \frac{14700}{p^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 14700$ không đổi đối với $p$ , nên đạo hàm của $- \frac{14700}{p^{2}}$ đối với $p$ là $- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}]$ .

$- 14700 \frac{d}{d p} [\frac{1}{p^{2}}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{p^{2}}$ ở dạng ${(p^{2})}^{- 1}$ .

$- 14700 \frac{d}{d p} [{(p^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ là $f' (g (p)) g' (p)$ trong đó $f (p) = p^{- 1}$ và $g (p) = p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $p^{2}$ .

$- 14700 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 14700 (- u^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $p^{2}$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} \frac{d}{d p} [p^{2}]) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ là $n p^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 14700 (- {(p^{2})}^{- 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(p^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 14700 (- p^{2 \cdot - 2} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 14700 (- p^{- 4} (2 p)) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 4} p) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.7

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$- 14700 (- 2 (p^{1} p^{- 4})) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 14700 (- 2 p^{1 - 4}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 14700 (- 2 p^{- 3}) + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.2.10

Nhân $- 2$ với $- 14700$ .

$29400 p^{- 3} + \frac{d}{d p} [- 7]$

Bước 2.3

Vì $- 7$ là hằng số đối với $p$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $p$ là $0$ .

$29400 p^{- 3} + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$29400 \frac{1}{p^{3}} + 0$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Kết hợp $29400$ và $\frac{1}{p^{3}}$ .

$\frac{29400}{p^{3}} + 0$

Bước 2.4.2.2

Cộng $\frac{29400}{p^{3}}$ và $0$ .

$f'' (p) = \frac{29400}{p^{3}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f' (p)$ đối với $p$ là $\frac{29400}{p^{3}}$ .

$\frac{29400}{p^{3}}$