Giải tích Ví dụ

$f (x + h) - f (x) = - 1 h x^{2} + 1 h x - 8 h^{2} x + 6 h^{2} - 6 h^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 1 h x^{2} + 1 h x - 8 h^{2} x + 6 h^{2} - 6 h^{3}$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$ .

$\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $- 1 h$ ở dạng $- h$ .

$\frac{d}{d h} [- h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.2.2

Vì $- x^{2}$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- h x^{2}$ đối với $h$ là $- x^{2} \frac{d}{d h} [h]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d h} [1 h x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $h$ với $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d h} [h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.3.2

Vì $x$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $h x$ đối với $h$ là $x \frac{d}{d h} [h]$ .

$- x^{2} + x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.3.4

Nhân $x$ với $1$ .

$- x^{2} + x + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 8 x$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 8 h^{2} x$ đối với $h$ là $- 8 x \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- x^{2} + x - 8 x \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{2} + x - 8 x (2 h) + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 8$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d h} [6 h^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $6$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $6 h^{2}$ đối với $h$ là $6 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 6 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 6 (2 h) + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.5.3

Nhân $2$ với $6$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Bước 1.6

Tính $\frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 6 h^{3}$ đối với $h$ là $- 6 \frac{d}{d h} [h^{3}]$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 6 \frac{d}{d h} [h^{3}]$

Bước 1.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 6 (3 h^{2})$

Bước 1.6.3

Nhân $3$ với $- 6$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 18 h^{2}$

Bước 1.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (h) = - 18 h^{2} - x^{2} - 16 h x + 12 h + x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 18 h^{2} - x^{2} - 16 h x + 12 h + x$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$ .

$\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 18$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 18 h^{2}$ đối với $h$ là $- 18 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- 18 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 18 (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 18$ .

$- 36 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.3

Vì $- x^{2}$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $h$ là $0$ .

$- 36 h + 0 + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d h} [- 16 h x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 16 x$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 16 h x$ đối với $h$ là $- 16 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 h + 0 - 16 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.4.3

Nhân $- 16$ với $1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d h} [12 h]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $12$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $12 h$ đối với $h$ là $12 \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.5.3

Nhân $12$ với $1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 + \frac{d}{d h} [x]$

Bước 2.6

Vì $x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $x$ đối với $h$ là $0$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 + 0$

Bước 2.7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Cộng $- 36 h$ và $0$ .

$- 36 h - 16 x + 12 + 0$

Bước 2.7.2

Cộng $- 36 h - 16 x + 12$ và $0$ .

$f'' (h) = - 36 h - 16 x + 12$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 36 h - 16 x + 12$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [- 36 h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$ .

$\frac{d}{d h} [- 36 h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d h} [- 36 h]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 36$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- 36 h$ đối với $h$ là $- 36 \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 36 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Bước 3.2.3

Nhân $- 36$ với $1$ .

$- 36 + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 16 x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- 16 x$ đối với $h$ là $0$ .

$- 36 + 0 + \frac{d}{d h} [12]$

Bước 3.3.2

Vì $12$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $12$ đối với $h$ là $0$ .

$- 36 + 0 + 0$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $- 36$ và $0$ .

$- 36 + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $- 36$ và $0$ .

$f''' (h) = - 36$

Bước 4

Vì $- 36$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $- 36$ đối với $h$ là $0$ .

$f^{4} (h) = 0$