Giải tích Ví dụ

$y = \tan (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Bước 1.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{2} (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.5

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.6

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Bước 2.12

Nhân $8$ với $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ và $g (x) = \tan (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.4

Nhân $\sec^{2} (2 x)$ với $\sec^{2} (2 x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $\sec^{2} (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.4.3

Cộng $2$ và $2$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.5.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (2 x)$ .

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Bước 3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Bước 3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.8.2

Đạo hàm của $\sec (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.9

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.10

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Bước 3.13

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.14

Nâng $\sec (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.16

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.17

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.18

Nhân $2$ với $2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1)$

Bước 3.20

Nhân $4$ với $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Bước 3.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (2 \sec^{4} (2 x)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Bước 3.21.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.21.2.1

Nhân $2$ với $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Bước 3.21.2.2

Nhân $4$ với $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 32 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Bước 3.21.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 16 \sec^{4} (2 x)$