Giải tích Ví dụ

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{4}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.2.3

Nhân $4$ với $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x^{3}$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $a$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $b x^{2}$ đối với $x$ là $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $b$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c x$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.5.3

Nhân $c$ với $1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 1.6

Vì $d$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $d$ đối với $x$ là $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Cộng $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ và $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Bước 1.7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $36$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $36 x^{3}$ đối với $x$ là $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $36$ .

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.3

Vì $c$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $c$ đối với $x$ là $0$ .

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $3 a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} a$ đối với $x$ là $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $3$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [2 b x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $2 b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 b x$ đối với $x$ là $2 b \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

Bước 2.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $108 x^{2}$ và $0$ .

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

Bước 2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $108$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $108 x^{2}$ đối với $x$ là $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $108$ .

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Bước 3.3

Vì $2 b$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 b$ đối với $x$ là $0$ .

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [6 a x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $6 a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 a x$ đối với $x$ là $6 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

Bước 3.4.3

Nhân $6$ với $1$ .

$216 x + 0 + 6 a$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $216 x$ và $0$ .

$216 x + 6 a$

Bước 3.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = 6 a + 216 x$