Giải tích Ví dụ

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 e^{\frac{t}{2}}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t}{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.6

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $e^{\frac{t}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $4$ và $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.2.9.2.4

Chia $2 e^{\frac{t}{2}}$ cho $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ và $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 e^{\frac{t}{2}}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t}{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.6

Kết hợp $e^{\frac{t}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.7

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.2.8.2

Chia $e^{\frac{t}{2}}$ cho $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $e^{\frac{t}{2}}$ và $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $P (t)$ đối với $t$ là $e^{\frac{t}{2}}$ .

$e^{\frac{t}{2}}$