Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{11}} - x \frac{4}{11}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{\frac{3}{11}} - x \frac{4}{11}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{11}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{3}{11}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{11}{11}$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $11$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $11$ khỏi $3$ .

$4 (\frac{3}{11} x^{\frac{- 8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{3}{11} x^{- \frac{8}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $\frac{3}{11}$ và $x^{- \frac{8}{11}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{8}{11}})}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.10

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{8}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.2.11

Di chuyển $x^{- \frac{8}{11}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x \frac{4}{11}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{4}{11}$ và $x$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{11}]$

Bước 1.3.2

Vì $- \frac{4}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4 x}{11}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{11} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11} \cdot 1$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}} - \frac{4}{11}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{12}{11}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{12}{11 x^{\frac{8}{11}}}$ đối với $x$ là $\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}]$ .

$\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{8}{11}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}$ .

$\frac{12}{11} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{8}{11}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{8}{11}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{8}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{12}{11} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{8}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{11}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{8}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- {(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{8}{11}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{8}{11} \cdot - 2} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.5.2

Nhân $\frac{8}{11} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Kết hợp $\frac{8}{11}$ và $- 2$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{8 \cdot - 2}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.5.2.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$\frac{12}{11} (- x^{\frac{- 16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{11}{11}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 1 \cdot 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Nhân $- 1$ với $11$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{8 - 11}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.9.2

Trừ $11$ khỏi $8$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{\frac{- 3}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} (\frac{8}{11} x^{- \frac{3}{11}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.11

Kết hợp $\frac{8}{11}$ và $x^{- \frac{3}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- x^{- \frac{16}{11}} \frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.12

Kết hợp $\frac{8 x^{- \frac{3}{11}}}{11}$ và $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{3}{11}} x^{- \frac{16}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.13

Nhân $x^{- \frac{3}{11}}$ với $x^{- \frac{16}{11}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.13.1

Di chuyển $x^{- \frac{16}{11}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 (x^{- \frac{16}{11}} x^{- \frac{3}{11}})}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{16}{11} - \frac{3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.13.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{\frac{- 16 - 3}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.13.4

Trừ $3$ khỏi $- 16$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{\frac{- 19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.13.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{12}{11} (- \frac{8 x^{- \frac{19}{11}}}{11}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.14

Di chuyển $x^{- \frac{19}{11}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{11} (- \frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.15

Nhân $\frac{12}{11}$ với $\frac{8}{11 x^{\frac{19}{11}}}$ .

$- \frac{12 \cdot 8}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.16

Nhân $12$ với $8$ .

$- \frac{96}{11 (11 x^{\frac{19}{11}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.2.17

Nhân $11$ với $11$ .

$- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{11}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{4}{11}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{4}{11}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$ .

$- \frac{96}{121 x^{\frac{19}{11}}}$