Giải tích Ví dụ

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ và $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $18 x - \frac{97}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.2

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.4

Nhân $18$ với $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.5

Vì $- 97$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{97}{x}$ đối với $x$ là $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.6

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.8

Nhân $- 1$ với $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Bước 1.2.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x^{2} - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 1.2.10

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 1.2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 1.2.12

Nhân $2$ với $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Bước 1.2.13

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Bước 1.2.15

Nhân $- 7$ với $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Bước 1.3.2

Kết hợp $97$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Khai triển $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Nhân $9$ với $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.2

Nhân $- 7$ với $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.4

Nhân $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.4.1

Kết hợp $9$ và $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.4.2

Nhân $9$ với $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.7

Nhân $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.7.1

Kết hợp $- 7$ và $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.7.2

Nhân $- 7$ với $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.8.3

Viết lại biểu thức.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.3

Khai triển $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.4.2.1

Di chuyển $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.3

Nhân $18$ với $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.4.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{97}{x}$ vào tử số.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.4.4

Viết lại biểu thức.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.5

Nhân $18$ với $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.6

Nhân $18$ với $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Bước 1.3.4.4.7

Nhân $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.4.7.1

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Bước 1.3.4.4.7.2

Kết hợp $7$ và $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Bước 1.3.4.4.7.3

Nhân $7$ với $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Bước 1.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Cộng $- \frac{679}{x}$ và $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Bước 1.3.5.2

Cộng $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ và $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Bước 1.3.6

Cộng $162 x^{2}$ và $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Bước 1.3.7

Trừ $126 x$ khỏi $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Bước 1.3.8

Trừ $1746$ khỏi $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $486 x^{2} - 252 x - 873$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $486$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $486 x^{2}$ đối với $x$ là $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 252$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 252 x$ đối với $x$ là $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 252$ với $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 873$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 873$ đối với $x$ là $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $972 x - 252$ và $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $y (x)$ đối với $x$ là $972 x - 252$ .

$972 x - 252$