Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} \cdot e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $e^{- x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot - 1$

Bước 1.3.4.2

Kết hợp $\frac{e^{- x}}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{2}$

Bước 1.3.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.4.3.2

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{e^{- x}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $e^{- x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.2

Nhân $\frac{e^{- x}}{2}$ với $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.5

Nhân $\frac{e^{- x}}{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{e^{- x}}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2}$