Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 a^{3 x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Bước 1.2

Lấy đạo hàm bằng cách dùng công thức đạo hàm hàm lũy thừa, công thức phát biểu rằng $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ bằng $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ khi $f = a$ và $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3.2.2

Nhân $x$ với $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3.2.3

Nhân $0$ với $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Bước 1.3.4

Nhân $3$ với $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Bước 1.3.6

Nhân $9$ với $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $9 \ln (a)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 a^{3 x} \ln (a)$ đối với $x$ là $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Bước 2.2

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.3.2.2

Nhân $x$ với $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.3.2.3

Nhân $0$ với $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.3.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 2.4

Nâng $\ln (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Bước 2.5

Nâng $\ln (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Bước 2.9

Nhân $3$ với $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Bước 2.11

Nhân $27$ với $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $27 \ln^{2} (a)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ đối với $x$ là $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Bước 3.2

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.3.2.2

Nhân $x$ với $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.3.2.3

Nhân $0$ với $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.3.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Bước 3.4

Nâng $\ln (a)$ lên lũy thừa $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Bước 3.6

Cộng $2$ và $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Bước 3.7

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Bước 3.8

Nhân $3$ với $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Bước 3.10

Nhân $81$ với $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ .

$81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$