Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 e^{- \frac{x}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 e^{- \frac{x}{3}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{x}{3}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{3}$ .

$7 (e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 e^{- \frac{x}{3}} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$- 7 e^{- \frac{x}{3}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 7$ .

$\frac{- 7}{3} e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3

Kết hợp $\frac{- 7}{3}$ và $e^{- \frac{x}{3}}$ .

$\frac{- 7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} \cdot 1$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = - \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- \frac{7}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$ .

$- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{x}{3}$ .

$- \frac{7}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \frac{7}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{3}$ .

$- \frac{7}{3} (e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $e^{- \frac{x}{3}}$ và $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x}{3}} \cdot 7}{3} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Bước 2.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{- \frac{x}{3}}$ .

$- \frac{7 \cdot e^{- \frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Bước 2.3.3

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4.2

Nhân $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ với $1$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{3 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4.4

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9} \cdot 1$

Bước 2.3.6

Nhân $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{7}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$ đối với $x$ là $\frac{7}{9} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$ .

$\frac{7}{9} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{7}{9} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{7}{9} (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{3}$ .

$\frac{7}{9} (e^{- \frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $e^{- \frac{x}{3}}$ và $\frac{7}{9}$ .

$\frac{e^{- \frac{x}{3}} \cdot 7}{9} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{- \frac{x}{3}}$ .

$\frac{7 \cdot e^{- \frac{x}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

Bước 3.3.3

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Nhân $\frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{9 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4.2

Nhân $9$ với $3$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{27} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{27} \cdot 1$

Bước 3.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f''' (x) = - \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{27}$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{27}$ .

$- \frac{7 e^{- \frac{x}{3}}}{27}$