Giải tích Ví dụ

$\tan (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$ , $0 \leq θ < 2 π$

Bước 1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Kết hợp $\sin (θ)$ và $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3}$

Bước 1.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}$

Bước 2

Chia mỗi số hạng trong $\tan (θ) = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}$ cho $\tan (θ)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $\tan (θ) = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}$ cho $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}}{\tan (θ)}$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}}{\tan (θ)}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{- \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}}{\tan (θ)}$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\tan (θ)}$

Bước 2.3.2

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Bước 2.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Bước 2.3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại biểu thức.

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Bước 2.3.5.2

Nhân $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ với $1$ .

$1 = - \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3}$ vào tử số.

$1 = \frac{- 2 \sin (θ) \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.6.2

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $- 2 \sin (θ) \sqrt{3}$ .

$1 = \frac{\sin (θ) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{\sin (θ) (- 2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 2.3.6.4

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cos (θ)$

Bước 2.3.7

Kết hợp $\frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$ và $\cos (θ)$ .

$1 = \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Bước 2.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 = - \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Bước 3

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$

Bước 4

Nhân cả hai vế của phương trình với $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2 \sqrt{3}}$ vào tử số.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} (- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.1.2

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$ vào tử số.

$\frac{- 3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.1.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (- 2 \sqrt{3} \cos (θ)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Đưa $2 \sqrt{3}$ ra ngoài $- 2 \sqrt{3} \cos (θ)$ .

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (θ))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} (- 1 \cos (θ))) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (- 1 \cos (θ)) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \cos (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.1.1.3.2

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $- \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) \cdot 1$

Bước 5.2.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Nhân $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.2

Di chuyển $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.4

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Bước 5.2.1.2.7.5

Tính số mũ.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Bước 5.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Bước 5.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Bước 5.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Bước 5.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Bước 5.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 6

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $θ$ từ trong cosin.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ là $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Bước 8

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$θ = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Bước 9

Rút gọn $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 9.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Bước 9.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Bước 9.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $6$ với $2$ .

$θ = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Bước 9.3.2

Trừ $5 π$ khỏi $12 π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Bước 10

Tìm chu kỳ của $\cos (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 10.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 10.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 10.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 11

Chu kỳ của hàm $\cos (θ)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$θ = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 12

Tìm các giá trị của $n$ tạo ra một giá trị trong khoảng $[0, 2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Bước 12.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Bước 12.1.2.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $\frac{5 π}{6}$ và $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Bước 12.1.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Bước 12.2

Điền $0$ vào cho $n$ và rút gọn để xem đáp án có được chứa trong $[0, 2 π)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Thay vào $0$ cho $n$ .

$\frac{7 π}{6} + 2 π (0)$

Bước 12.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{7 π}{6} + 0 π$

Bước 12.2.2.1.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{7 π}{6} + 0$

Bước 12.2.2.2

Cộng $\frac{7 π}{6}$ và $0$ .

$\frac{7 π}{6}$

Bước 12.2.3

Khoảng $[0, 2 π)$ chứa $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$