Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $G (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$G (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{x^{2}}{4} d x + \int C d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int x^{2} d x + \int C d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{12} + C x + C$

Bước 10.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $g (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .

$G (x) =$ $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{12} x^{3} + C x + C$