Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 7]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \ln (x)$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 7]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x > 0$

Bước 2.1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 7]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(1, 7)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $(1, 7)$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 4.1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(1, 7)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(1, 7)$ vì đạo hàm liên tục trên $(1, 7)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[1, 7]$ và khả vi trên $(1, 7)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[1, 7]$ và khả vi trên $(1, 7)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[1, 7]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \ln (1)$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (1) = 0$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 8

Tính $f (b)$ từ khoảng $[1, 7]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f (7) = \ln (7)$

Bước 8.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (7)$ .

$\ln (7)$

Bước 9

Giải $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (7) + f (1))}{- (7 + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7) + 0}{(7) - (1)}$

Bước 9.1.2

Cộng $\ln (7)$ và $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{(7) - (1)}$

Bước 9.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{7 - 1}$

Bước 9.1.4

Trừ $1$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (7)}{6}$

Bước 9.1.5

Viết lại $\frac{\ln (7)}{6}$ ở dạng $\frac{1}{6} \ln (7)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} \ln (7)$

Bước 9.1.6

Rút gọn $\frac{1}{6} \ln (7)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{6}$ trong logarit.

$\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$

Bước 9.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x, 1$

Bước 9.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 9.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} = \ln (7^{\frac{1}{6}})$ với $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} x = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Bước 9.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \ln (7^{\frac{1}{6}}) x$

Bước 9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (7^{\frac{1}{6}}) x$ .

$1 = x \ln (7^{\frac{1}{6}})$

Bước 9.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ .

$x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$

Bước 9.4.2

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ cho $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (7^{\frac{1}{6}}) = 1$ cho $\ln (7^{\frac{1}{6}})$ .

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Bước 9.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (7^{\frac{1}{6}})}{\ln (7^{\frac{1}{6}})} = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Bước 9.4.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$

Bước 10

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 7$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{1}{\ln (7^{\frac{1}{6}})}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 7$

Bước 11