Giải tích Ví dụ

$0 = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình ở dạng $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Bước 2

Rút gọn vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sắp xếp lại $- \sin^{2} (x)$ và $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (x)$ và $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 2.3

Khai triển $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 2.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 2.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (x) (- \sin (x))$ và $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.1.2

Cộng $- \cos (x) \sin (x)$ và $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.1.3

Cộng $\cos (x) \cos (x)$ và $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x) = 0$

Bước 2.4.2.3

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Bước 2.4.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Bước 2.4.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Bước 3

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Bước 4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 5

Đặt $\cos (x) + \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $\cos (x) + \sin (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Bước 5.2

Giải $\cos (x) + \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 5.2.4

Tách các phân số.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5.2.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 5.2.6

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 5.2.7

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Bước 5.2.8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\tan (x) = - 1$

Bước 5.2.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 5.2.10

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.11

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 5.2.12

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.12.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 5.2.12.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.13

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.2.13.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.2.13.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.2.13.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.2.14

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.14.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 5.2.14.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.14.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.14.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 5.2.14.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 5.2.14.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.14.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 5.2.14.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.14.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 5.2.15

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 6

Đặt $\cos (x) - \sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $\cos (x) - \sin (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 6.2

Giải $\cos (x) - \sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.3

Tách các phân số.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.5

Chia $- 1$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 6.2.6

Tách các phân số.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 6.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 6.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Bước 6.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Bước 6.2.10

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 6.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.11.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 6.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 6.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 6.2.14

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 6.2.15

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 6.2.15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 6.2.15.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 6.2.15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 6.2.15.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 6.2.16

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.16.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 6.2.16.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 6.2.16.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 6.2.16.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 6.2.17

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 9