Giải tích Ví dụ

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 \sec (x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.1.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $g (x)$ đối với $x$ là $- 5 \sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

Bước 1.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Bước 1.2.3

Đặt $\sec (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đặt $\sec (x)$ bằng với $0$ .

$\sec (x) = 0$

Bước 1.2.3.2

Khoảng biến thiên của secant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $0$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 1.2.4

Đặt $\tan (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $\tan (x)$ bằng với $0$ .

$\tan (x) = 0$

Bước 1.2.4.2

Giải $\tan (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (0)$

Bước 1.2.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.4.2.3

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + 0$

Bước 1.2.4.2.4

Cộng $π$ và $0$ .

$x = π$

Bước 1.2.4.2.5

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 1.2.4.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 1.2.4.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 1.2.4.2.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 1.2.4.2.6

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ đúng.

$x = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.6

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt đối số trong $\sec (x)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 1.4

Tính $- 5 \sec (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$- 5 \sec (0)$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Bước 1.4.1.2.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $π$ bằng $x$ .

$- 5 \sec (π)$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ hai.

$- 5 (- \sec (0))$

Bước 1.4.2.2.2

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Bước 1.4.2.2.3

Nhân $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Bước 1.4.2.2.3.2

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$5$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(0, - 5), (π, 5)$

Bước 3

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc hai để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 \sec (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.1.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.1.4

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.1.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.1.4.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Bước 3.1.5

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Bước 3.1.6

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Bước 3.1.7

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Bước 3.1.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Bước 3.1.9

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Bước 3.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Bước 3.1.10.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

Bước 3.2

Thay $0$ vào $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.2

Tính $\tan (0)$ .

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.3

Nâng $0$ lên lũy thừa $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.4

Nhân $- 5$ với $0$ .

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.5

Tính $\sec (0)$ .

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.6

Nhân $0$ với $1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

Bước 3.2.7

Tính $\sec (0)$ .

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

Bước 3.2.8

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Bước 3.2.9

Nhân $- 5$ với $1$ .

$0 - 5$

Bước 3.2.10

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$- 5$

Bước 3.3

Vì đạo hàm bậc hai âm tại $0$ nên đây là giá trị cực đại.

$0$ là cực đại địa phương

Bước 3.4

Thay $π$ vào $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay $π$ bằng $x$ .

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.2

Tính $\tan (π)$ .

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.3

Nâng $0$ lên lũy thừa $2$ .

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.4

Nhân $- 5$ với $0$ .

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.5

Tính $\sec (π)$ .

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.6

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

Bước 3.4.7

Tính $\sec (π)$ .

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

Bước 3.4.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$0 - 5 \cdot - 1$

Bước 3.4.9

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$0 + 5$

Bước 3.4.10

Cộng $0$ và $5$ .

$5$

Bước 3.5

Vì đạo hàm bậc hai dương tại $π$ nên đây là giá trị cực tiểu.

$π$ là cực tiểu địa phương

Bước 3.6

Liệt kê các cực trị địa phương

$0$ là cực đại địa phương

$π$ là cực tiểu địa phương

$0$ là cực đại địa phương

$π$ là cực tiểu địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $g (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $g (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $g (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(0, - 5)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(π, 5)$

Bước 5