Giải tích Ví dụ

$y = x - \sin (x)$

Bước 1

Viết $y = x - \sin (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x - \sin (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$1 - \cos (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Bước 3.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Bước 3.2.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 - \cos (x) = 0$

Bước 5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \cos (x) = - 1$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.2.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Bước 7

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (1)$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Giá trị chính xác của $\arccos (1)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 9

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - 0$

Bước 10

Trừ $0$ khỏi $2 π$ .

$x = 2 π$

Bước 11

Đáp án của phương trình $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\sin (0)$

Bước 13

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0$

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 - \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 1 - \cos (- 2)$

Bước 14.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1.1

Tính $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Bước 14.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1 + 0.41614683$

Bước 14.2.2.2

Cộng $1$ và $0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.41614683$

Bước 14.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.41614683$ .

$1.41614683$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(0, 2 π)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 - \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = 1 - \cos (3)$

Bước 14.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1.1

Tính $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Bước 14.3.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 + 0.98999249$

Bước 14.3.2.2

Cộng $1$ và $0.98999249$ .

$f' (3) = 1.98999249$

Bước 14.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.98999249$ .

$1.98999249$

Bước 14.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $9$ , từ khoảng $(2 π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 - \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $9$ trong biểu thức.

$f' (9) = 1 - \cos (9)$

Bước 14.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1.1

Tính $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Bước 14.4.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 + 0.91113026$

Bước 14.4.2.2

Cộng $1$ và $0.91113026$ .

$f' (9) = 1.91113026$

Bước 14.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.91113026$ .

$1.91113026$

Bước 14.5

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 0$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 14.6

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = x - \sin (x)$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 15