Giải tích Ví dụ

$f (x) = (3 x - 5) (\sqrt{x} + 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x - 5$ và $g (x) = \sqrt{x} + 3$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x} + 3] + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{x} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 5.2.2

Cộng $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Bước 6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 7

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 7.3

Nhân $3$ với $1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + 0)$

Bước 8.2

Cộng $3$ và $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Bước 9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.5.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.6

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot \sqrt{x} + 3 \cdot 3$

Bước 9.3.9

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x} + 9$

Bước 9.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x}$